Un infierno en el cielo o sobre la temperatura del sol

Creo que mis dos últimos días se pueden resumir en dos palabras: ¡qué calor! Y como nos dice mi madre a mis hermanas y a mí cuando pasamos el verano en casa: “niños, pórtense bien ¡qué el infierno está más caliente!’

Si hay un infierno o no en términos del florentino es algo que no voy a discutir, aunque el verano mallorquín se aproxima mucho entre las altas temperaturas y esas pobres almas en pena, ebrias de espirituosos a las que se les cae la piel a tiras que no mucho tiempo atrás fueron parte del pueblo anglo-germánico (si fuese así, Punta Ballena podría ser el Pandemonium). Por otro lado, si consideramos el infierno en un sentido más figurativo, como un lugar de temperaturas extremas y completamente hostil, podría decirse que habitamos entre dos.  El sol y el centro de la tierra, dos poderosos reactores nucleares, uno de fusión sobre nuestras cabezas y otro de fisión bajo nuestros pies.

En fin, el tema es que con tanto protagonismo que ha cogido el astro rey (con permiso de Cuzco) en mi vida éste último año parisino, ya sea por escasez o por exceso, he pensado que podría resultar interesante dedicar una breve entrada sobre nuestro vecino.

Ya está bastante mascado el tema del sol cómo reactor de fusión y productor de elementos; aún resuenan en mi cabeza las palabras de Carl diciendo “(…) porque el cosmos también está en nosotros, estamos hechos de polvo de estrellas”, así que voy a enfocar el tema desde un punto de vista un poco menos poético pero espero que todavía interesante. Vamos a determinar la temperatura de la superficie del sol y analizaremos algunas de sus consecuencias.

Antes de empezar, acerca la mano a una lámpara. ¿Notas cómo se te calienta la mano? Eso es debido a que un cuerpo emite radiación solo por el hecho de encontrarse a cierta temperatura, ¿verdad que se está a gustito cerca del radiador en invierno?. Nosotros nos aprovecharemos de esta propiedad para poder calcular la temperatura de la superficie del sol y para ello haremos uso de una formulilla, sencilla pero poderosa, conocida como la ley de Stefan-Boltzmann, que viene a ser:

P = \sigma T^4

Esta fórmula contiene un resultado muy básico e importante y es que implica que el calor irradiado por un cuerpo depende únicamente de su temperatura. Centrémonos en el caso del sol. Según la wiki, la cantidad de radiación que llega por metro cuadrado a las capas altas de la atmosfera es de 1360\ W m^{-2} .  Sin embargo, para poder utilizar la ley de Stefan-Boltzmann tenemos que remitirnos a la cantidad de radiacion emitida por la superficie del sol y ésta es la que vemos nosotros, ¿dónde está el problema? os preguntaréis. Bueno, hagamos una pequeña reflexión…imaginemos una bombilla y vamos a suponer que la cantidad de luz que emite es constante y homogénea. Si ponemos una esfera centrada en la bombilla y rodeándola podremos ver que esta iluminada completamente en su interior. Pongamos ahora una esfera más grande. Todo el interior de esta segunda esfera sigue iluminado, sin embargo el brillo en su superficie sera menos ya que cuanto más grande sea la esfera más área interior tendremos que iluminar con la misma cantidad de luz.  Es decir, para una luminosidad constante, a más distancia de la fuente menos luz habrá por unidad de superficie.

esquema sol tierra

El dibujo cutre de arriba es una representación esquemática de lo explicado antes pero con una bombilla más grande, el sol. Como hemos dicho que la luminosidad es constante y homogenea, L , la cantidad de luz que pasara por las diferentes áreas concéntricas tendrá que ser la misma, dandonos una relación directa, o sea:

L = R_S A_S = R_T A_T .

Con la relación anterior es inmediato encontrar la cantidad de radiación emitida por la superficie del sol, R_S . Volvamos a la wiki y busquemos los datos que nos faltan, la superficie de una esfera es A=4 \pi r^2 , la distancia de la superficie del sol a la imaginaria fuente puntual  es directamente el radio del sol (r_{Sol} en la imagen), 6.59x10^8m (695 500 km) , y la distancia de una superficie a la altura de la atmosfera de la tierra a la fuente será la distancia entre el sol y la tierra (D_{S \rightarrow T} en la imagen) más el radio del sol,  6.59x10^8m + 1.496x10^{11} m (149 600 000 km). Así que substituyendo obtenemos:

R_S= R_T \frac{A_{T}}{A_{S}} = 1360 \frac{(4 \pi (6.59x10^{8} + 1.496x10^{11})^2 )}{(4 \pi (6.59x10^{8})^2 )} = 6.29x10^7 W m^{-2}

Con este dato podemos usar la ley de Stefan-Boltzmann y obtenemos que:

T_{Sol}=(\frac{P}{\sigma})^\frac{1}{4}= 5800 K ; siendo \sigma = 5.67x10^{-8} W m^{-2} K^{-4}

Más o menos 5500 ºC, ¡pues sí que está caliente sí! Espero que aun sigas ahí porque ahora viene algo también interesante. Como sabrás la luz es un tipo de onda, o partícula según se mire, pero eso es otra historia, y su color viene caracterizado por su longitud de onda \lambda . El espectro visible para el ojo humano abarca longitudes de onda desde los 380-450 nm, que viene a ser la gama violeta, hasta los 620-750 nm, que viene a ser el rojo, y entre esos dos colores todo el arcoíris. Bueno, pues si miramos bien la imagen inferior podemos ver como en medio del espectro visible, se encuentra el amarillo con una \lambda entre 570-590 nm, y es por tanto el color al que tenemos más sensibilidad y que detectamos más rapidamente (de ahí lo de amarillo chillón, digo yo vamos…).

Electromagnetic_spectrum-es.svg

Supongo que ya puedes empezar a oler, o más bien ver, lo que viene a continuación. ¿No? Bueno, pues continuemos. Como hemos dicho antes, el hecho de que un cuerpo se encuentre a cierta temperatura hace que emita radiación ¿pero, de qué forma? Bueno, en la gráfica de abajo puedes ver el espectro de radiación emitido por un cuerpo negro a distintas temperaturas. Fijate en que zona del espectro se situaría la intensidad máxima emitida por el sol.

leyplanck

¡Correcto! ¡El máximo de intensidad del sol estaría en el amarillo! ¿Coincidencia? ¡Más bien que nuestros ojos se han adaptado para aprovechar el máximo el sol! Ahh, la evolución…

¡Espero que te haya gustado! ¡Si encuentras algún error no dudes en comunicármelo y lo corrijo!

A más ver…

P.D.: Mi intención inicial era aprovechar el tener que usar la ecuación de Stefan-Boltzman para discutir sobre el problema de la catástrofe ultravioleta de principios de siglo XX, puesto que ésta se obtiene a partir de la solución que dio Planck al problemilla. Aparte de solucionar el problema del espectro de radiación del cuerpo negro, la solución que Plank propuso fue la piedra angular de la cuantización de la energía y el origen de la omnipresente constande de Planck h . Sin embargo, como la entrada ya se me estaba quedando larga, si os interesa el tema es mejor os remitáis aquí, ¡que está genialmente explicado!

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